Задача 31245

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

Доказать, что для любого n
  а)  7²ⁿ – 4²ⁿ  делится на 33;
  б)  3⁶ⁿ – 2⁶ⁿ  делится на 35.

Решение

а)  7²ⁿ – 4²ⁿ  делится на  7² – 4² = 33.

б) Первый способ.  3⁶ⁿ – 2⁶ⁿ  делится на  3⁶ – 2⁶ = 665 = 19·35.
Второй способ.  3⁶ⁿ – 2⁶ⁿ = (–2)⁶ⁿ – 2⁶ⁿ = 0 (mod 5),   27²ⁿ – 8²ⁿ = (–1)²ⁿ – 1²ⁿ = 0 (mod 7).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	15