Задача 31247

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7,8

Условие

Доказать, что для любого n  ¹/₈₁ (10ⁿ – 1) – ⁿ/₉  – целое число.

Решение

(10ⁿ – 1) – 9n = 9(10^n–1 + ... + 1 – n).  10^n–1 + ... + 1 – n ≡ 1 + ... + 1 – n = 0 (mod 9),  следовательно,  (10ⁿ – 1) – 9n  делится на 81.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	17