Задача 31261

Темы:    [ Арифметика остатков (прочее) ] [ Китайская теорема об остатках ]

Сложность: 3 Классы: 6,7,8

Условие

a ≡ 68 (mod 1967),   a ≡ 69 (mod 1968).  Найти остаток от деления a на 14.

Решение

1967 = 7·281.

Первый способ. Заметим, что  a + 1899  делится и на 1967 и на 1968, то есть делится на 14.  1899 ≡ 9 (mod 14),  поэтому  a + 9  делится на 14, то есть
a ≡ 5 (mod 14).

Второй способ. Из первого сравнения следует, что  a ≡ 5 (mod 7),  а из второго – что a нечётно. Следовательно,  a ≡ 5 (mod 14).

Ответ

5.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Иванов С.В.
Название	Математический кружок
глава
Номер	11
Название	Остатки
Тема	Деление с остатком
задача
Номер	31