Задача 35155

Темы:    [ Средние величины ] [ Десятичная система счисления ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Условие

Найдите наибольшее натуральное число, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр.

Подсказка

Разности между соседними цифрами числа убывают при просмотре десятичной записи числа слева направо.

Решение

  Пусть a₁a₂...a_k – десятичная запись числа, каждая некрайняя цифра которого меньше среднего арифметического соседних с ней цифр. Тогда
a₁ – a₂ > a₂ – a₃ > ... > a_k–1 – a_k.  Если бы первые четыре разности  a₁ – a₂,  a₂ – a₃,  a₃ – a₄,  a₄ – a₅  были положительными, то разность
a₁ – a₅ = (a₁ – a₂) + (a₂ – a₃) + (a₃ – a₄) + (a₄ – a₅)  была бы не меньше  4 + 3 + 2 + 1 = 10,  что невозможно. Следовательно, только три разности  a₁ – a₂,  a₂ – a₃,
a₃ – a₄  могут быть положительными. Аналогичным образом, только три разности  a_k–3 – a_k–2,  a_k–2 – a_k–1,  a_k–1 – a_k  могут быть отрицательными. Кроме этого, еще одна разность между соседними цифрами может равняться 0.
  Сказанное выше означает, что в числе не более 8 цифр (не более  3 + 3 + 1 = 7  разностей между соседними цифрами). Чтобы сделать искомое восьмизначное число максимальным, нужно положить  a₁ = 9  и выбрать разности  a_i – a_i+1  минимально возможными (с тем условием, чтобы среди разностей были три положительных, три отрицательных и одна нулевая):  a₁ – a₂ = 3,  a₂ – a₃ = 2,  a₃ – a₄ = 1,  a₄ – a₅ = 0,  a₅ – a₆ = –1,  a₆ – a₇ = –2,  a₇ – a₈ = –3.

Ответ

96433469.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача