ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35407
Темы:    [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости расположены две параболы так, что их оси взаимно перпендикулярны, а сами параболы пересекаются в четырёх точках.
Докажите, что эти четыре точки лежат на одной окружности.


Подсказка

Уравнение искомой окружности является линейной комбинацией уравнений двух данных парабол.


Решение

Введём координаты так, что ось x будет осью симметрии первой параболы, а ось y – осью симметрии второй параболы. Уравнения парабол тогда примут вид:  x = ay² + by = cx² + d.  Коэффициенты a и c можно считать положительными (выбрав соответствующие направления на осях). Каждая из четырёх точек пересечения парабол удовлетворяет этим двум уравнениям. Домножив первое уравнение на c, второе – на a и сложив их, получим уравнение
cx + ay = ac(x² + y²) + ad + cb.  Последнее уравнение преобразуется к виду     Это уравнение окружности (правая часть положительна, иначе параболы не имели бы точек пересечения), на которой лежат четыре точки пересечения парабол.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .