ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35457
Темы:    [ Тригонометрические уравнения ]
[ Математический анализ (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что уравнение  a1 sin x + b1 cos x + a2 sin 2x + b2 cos 2x + ... + an sin nx + bn cos nx = 0  имеет хотя бы один корень при любых значениях a1, b1, a2, b2, ..., an, bn.


Подсказка

Левая часть периодична с периодом 2π. Чему равно среднее значение левой части на отрезке  [0, 2π]?


Решение

Обозначим левую часть уравнения через f(x). Заметим, что    Поэтому функция f(x) на отрезке
[0, 2π]  принимает как неположительные, так и неотрицательные значения. В силу непрерывности f(x) имеет корень на этом отрезке.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .