ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35588
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Геометрическая прогрессия ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что n! не делится на 2n.


Подсказка

С каким показателем входит простой множитель 2 в разложение числа n! на простые множители?


Решение

Из чисел от 1 до n каждое второе делится на 2, то есть добавляет множитель 2 в разложение числа n! на простые множители. Таких чисел  [n/2].  Кроме того, каждое четвёртое число делится на  4 = 22,  то есть добавляет еще одну двойку в разложение числа n!. Таких чисел  [n/4].  Каждое восьмое число добавляет еще одну двойку и т.д. Таким образом, простой множитель 2 входит в разложение числа n! на простые множители с показателем, равным
[n/2] + [n/4] + ... + [n/2k] + ... < n/2 + n/4 + ... + n/2k + ... = n  (мы воспользовались формулой для суммы бесконечной геометрической прогрессии). Таким образом, двойка входит в разложение числа n! на простые множители с показателем, меньшим n.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .