ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 35803
Темы:    [ Поворот (прочее) ]
[ Многоугольники (прочее) ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Если повернуть многоугольник вокруг некоторой точки на 70 градусов, то он совместится сам с собой. Какое наименьшее число вершин может быть у такого многоугольника?

Подсказка

Многоугольник совместится сам с собой при поворотах на углы в 70, 2*70, 3*70,... градусов.

Решение

Ясно, что правильный 36-угольник переходит в себя при повороте на угол 100 вокруг его центра. Следовательно, он переходит в себя и при повороте на угол 700 вокруг его центра. Покажем, что многоугольник, о котором идет речь в условии, не может иметь меньше 36 вершин. Рассмотрим одну из его вершин A0. Пусть мы совершили поворот на угол в 700 вокруг точки O. Многоугольник самосовместился, а вершина A0 перешла в некоторую вершину A1 (при повороте вершина переходит в вершину!). Поскольку угол поворота не кратен 360 градусам, A1 будет отлична от A0. Далее, повернем многоугольник на 2*700, 3*700, 4*700, ... , 35*70A0, он снова будет самосовмещаться. При этом вершина A переходит в вершины A2, A3, ... , A35. Никакие две из вершин A0, A1, ... , A35 не будут совпадать, так как любая пара из этих вершин совмещается поворотом вокруг точки O на угол, не кратный 3600.

Ответ

36.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .