Задача 52521

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Точка D лежит на биссектрисе угла ACB. На луче CA выбрали точки A₁ и A₂, а на луче CB – точки B₁ и B₂, причём четыре точки A₁, C, B₁, D лежат на одной окружности, а четыре точки A₂, C, B₂, D лежат на другой окружности. Докажите, что  A₁A₂ = B₁B₂.

Подсказка

Докажите, что треугольник DA₁A₂ равен треугольнику DB₁B₂.

Решение

Пусть A₁ находится между точками C и A₂, а B₂ – между C и B₁. Треугольники DA₁A₂ и DB₁B₂ равны, так как  DA₁ = DB₁,  DA₂ = DB₂,
∠A₁DA₂ = ∠B₂DA₂ – ∠A₁DB₂ = 180° – ∠C – ∠A₁DB₂ = ∠B₁DA₁ – ∠A₁DB₂ = ∠B₁DB₂.  Следовательно,  A₁A₂ = B₁B₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	184