Задача 52840

Темы:    [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В окружность вписан треугольник. Вторая окружность, концентрическая первой, касается одной стороны треугольника и делит каждую из двух других сторон на три равные части. Найдите отношение радиусов этих окружностей.

Подсказка

Примените теорему о касательной и секущей.

Решение

Пусть меньшая окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке P, пересекает сторону BC в точках M и N, а сторону AC -- в точках K и L, и BM = MN = NC = a, AK = KL = LC = b.

Поскольку CM ^. CN = CK ^. CL, то a = b, а т.к. PB² = BN ^. BM, то PB = AP = a.

Если R — радиус большей окружности, то

R = = .

Если r — радиус меньшей окружности, то

r = = .

Следовательно, = .

Пусть меньшая окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке P, пересекает сторону BC в точках M и N, а сторону AC -- в точках K и L, и BM = MN = NC = a, AK = KL = LC = b.

Поскольку CM ^. CN = CK ^. CL, то a = b, а т.к. PB² = BN ^. BM, то PB = AP = a.

Если R — радиус большей окружности, то

R = = .

Если r — радиус меньшей окружности, то

r = = .

Следовательно, = .

Пусть меньшая окружность касается стороны AB треугольника ABC в точке P, пересекает сторону BC в точках M и N, а сторону AC -- в точках K и L, и BM = MN = NC = a, AK = KL = LC = b.

Поскольку CM ^. CN = CK ^. CL, то a = b, а т.к. PB² = BN ^. BM, то PB = AP = a.

Если R — радиус большей окружности, то

R = = .

Если r — радиус меньшей окружности, то

r = = .

Следовательно, = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	506