ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 52854
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан угол, равный $ \alpha$. На его биссектрисе взята точка K; P и M — проекции K на стороны угла. На отрезке PM взята точка A такая, что KA = a. Прямая, проходящая через A перпендикулярно KA, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите площадь треугольника BKC.


Подсказка

Точки C, A, K и M принадлежат одной окружности.


Решение

Заметим, что

$\displaystyle \angle$PMK = $\displaystyle \angle$MPK = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$,

Поскольку отрезок CK виден из точек A и M под прямым углом, то точки C, A, K и M лежат на одной окружности. Поэтому

$\displaystyle \angle$ACK = $\displaystyle \angle$AMK = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Аналогично

$\displaystyle \angle$ABK = $\displaystyle \angle$APK = $\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Из прямоугольного треугольника ACK находим, что

AC = AKctg$\displaystyle \angle$ACK = actg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.

Следовательно,

BC = 2AC = 2actg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$S$\scriptstyle \Delta$BKC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$BC . AK = a2ctg$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$.


Ответ

a2ctg$ {\frac{\alpha}{2}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 521

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .