|
|
 |
Условие
В трапеции ABCD с основаниями AD и BC боковая сторона AB равна 2. Биссектриса угла BAD пересекает прямую BC в точке E. В треугольник ABE вписана окружность, касающаяся стороны AB в точке M и стороны BE в точке H, MH = 1. Найдите угол BAD.
Подсказка
Воспользуйтесь подобием треугольников BMH и BAE.
Решение
Поскольку BE || AD, то ∠AEB = ∠EAD = ∠BAE. Поэтому треугольник ABE – равнобедренный. Следовательно, BE = AB = 2 и MH || AE.
Обозначим BM = BH = x. Пусть K – точка касания данной окружности со стороной AE. Тогда AK = AM = 2 – x, AE = 4 – 2x.
Из подобия равнобедренных треугольников MBH и ABE следует, что MH : AE = BM : AB, или 1/4–2x = x/2, или x² – 2x + 1 = 0.
Отсюда x = 1, то есть эти треугольники –
равносторонние. Следовательно, ∠BAD = 2∠BAE = 120°.
Ответ
120°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 592 |
