ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53055
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC угол C – тупой, D – точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Высота треугольника ADC, проведённая из вершины C, пересекает AB в точке M. Известно, что  AM = a,  MB = b.  Найдите AC.


Подсказка

Докажите, что треугольники CAM и BAC подобны.


Решение

  Заметим, что точки C и B лежат на окружности с диаметром AD.
  Проведём высоту CN – треугольника ADC и продолжим её до пересечения с окружностью в точке K. AD – диаметр, перпендикулярный хорде CK, поэтому
CN = NK и  AC = AK.  Следовательно,  ∠ACK = ∠AKC = ∠B.
  Треугольники CAM и BAC подобны по двум углам. Значит,  AC : AB = AM : AC,  откуда  AC² = AM·AB = a(a + b).


Ответ

$ \sqrt{a(a+b)}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 724

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .