Задача 53055

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC угол C – тупой, D – точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Высота треугольника ADC, проведённая из вершины C, пересекает AB в точке M. Известно, что  AM = a,  MB = b.  Найдите AC.

Подсказка

Докажите, что треугольники CAM и BAC подобны.

Решение

  Заметим, что точки C и B лежат на окружности с диаметром AD.
  Проведём высоту CN – треугольника ADC и продолжим её до пересечения с окружностью в точке K. AD – диаметр, перпендикулярный хорде CK, поэтому
CN = NK и  AC = AK.  Следовательно,  ∠ACK = ∠AKC = ∠B.
  Треугольники CAM и BAC подобны по двум углам. Значит,  AC : AB = AM : AC,  откуда  AC² = AM·AB = a(a + b).

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	724