Задача 53135

Темы:    [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Обязательно ли треугольник равнобедренный, если центр вписанной в него окружности одинаково удалён от середин двух сторон?

Подсказка

Рассмотрите треугольник со сторонами 6, 8, 10.

Решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC с катетами  AB = 6,  BC = 8  и гипотенузой  AC = 10.  Пусть O – центр его вписанной окружности; M, N – середины сторон AB и AC соответственно; P, Q, F – точки касания вписанной окружности со сторонами соответственно AB, AC и BC. Тогда
OP = OQ = OF = ½ (AB + BC – AC) = 2,  PM = BM – BP = ½ AB – OF = 1,  QN = AN – AQ = ½ AC – AP = 1.  Следовательно,  OM = ON.

Ответ

Не обязательно.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	804