Информация о задаче

Задача 53215

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC известно, что $\angle$ A = 120^o, стороны AC = 1 и BC = $\sqrt{7}$ . На продолжении стороны CA взята точка M так, что BM является высотой треугольника ABC. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и M и касающейся в точке M окружности, проходящей через точки M, B и C.

Подсказка

Докажите, что окружности касаются внутренним образом. Пусть K — отличнаяот M точка пересечения первой окружности с отрезком BM. Треугольники MAK и MCB подобны.

Решение

Поскольку диаметр BC окружности, описанной около треугольника MBC, виден из точки A под тупым углом, то точка A лежит внутри этой окружности. Поэтому данные окружности касаются внутренним образом.

Пусть Q и O — центры соответственно меньшей и большей окружностей, K — отличная от M точка пересечения меньшей окружности с отрезком BM. Поскольку

$\displaystyle \angle$ MAK = $\displaystyle \angle$ AMQ = $\displaystyle \angle$ CMO = $\displaystyle \angle$ OCM = $\displaystyle \angle$ BCM,

то треугольники MAK и MCB подобны.

Обозначим AB = x и применим к треугольнику ABC теорему косинусов:

BC² = AB² + AC² - 2AB^.AC cos 120^o,

или

7 = 1 + x + x², или x² + x - 6 = 0.

Отсюда находим, что x = 2, а т.к. $\angle$ MAB = 60^o, то

AM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AB = $\displaystyle {\frac{x}{2}}$ = 1.

Следовательно,

AK = BC^. $\displaystyle {\frac{AM}{MC}}$ = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{2}}$ , OA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AK = $\displaystyle {\frac{\sqrt{7}}{4}}$ .

Ответ

${\frac{\sqrt{7}}{4}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	910