Информация о задаче

Задача 53216

Темы:	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Дан треугольник ABC, у которого стороны AB = $\sqrt{17}$ , BC = 5, AC = 4. На стороне AC взята точка D так, что BD является высотой треугольника ABC. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и D и касающейся в точке D окружности, описанной около треугольника BCD.

Подсказка

Докажите, что окружности касаются внешним образом. Если M — точка пересечения окружности, проходящей через точки A и D, с продолжением BD, то треугольники ADM и BCD подобны.

Решение

Поскольку точка A расположена вне окружности, описанной около треугольника BCD (угол A — острый), то указанные окружности касаются внешним образом. Обозначим AD = x. Тогда CD = AC - x = 4 - x.

Поскольку AB² - AD² = BC² - DC², то 17 - x² = 25 - (4 - x)². Отсюда находим, что x = 1.

Пусть M — точка пересечения окружности, проходящей через точки A и D, с продолжением BD, Q — центр этой окружности, O — центр описанной окружности треугольника BCD. Поскольку

$\displaystyle \angle$ MAD = $\displaystyle \angle$ QAD = $\displaystyle \angle$ ADQ = $\displaystyle \angle$ ODC = $\displaystyle \angle$ OCD = $\displaystyle \angle$ BCD,

то треугольники ADM и BCD подобны с коэффициентом ${\frac{AD}{DC}}$ = ${\frac{1}{3}}$ . Следовательно,

AM = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{3}}$ BC = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{3}}$ , QA = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ AM = $\displaystyle {\textstyle\frac{5}{6}}$ .

Ответ

${\frac{5}{6}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	911