Задача 53357

Темы:    [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Равные треугольники. Признаки равенства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Дан треугольник ABC, в котором  AB = AC  и  ∠A = 110°.  Внутри треугольника взята точка M, причём  ∠MBC = 30°,  а  ∠MCB = 25°.  Найдите ∠AMC.

Подсказка

Пусть N – точка пересечения прямой BM с биссектрисой угла BAC. Докажите, что треугольники ACN и MCN равны.

Решение

  Пусть N – точка пересечения прямой BM с биссектрисой угла A. Поскольку  ∠BNC = 120°,  то  ∠ANC = ∠ANB = 120°,  а так как   ∠C = ∠B = 35°,
∠ACN = ∠ABN = 5°,  то  ∠NCM = 35° – 25° – 5° = 5°.
  Поэтому треугольники ACN и MCN равны по стороне (CN – общая) и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,  AC = CM, 
∠AMC = ∠MAC = ½ (180° – ∠ACM) = ½ (180° – 10°) = 85°.

Ответ

85°.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1053