ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53478
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
Название задачи: Теорема о медианах треугольника.
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.


Подсказка

Докажите, что любые две медианы делятся точкой их пересечения в отношении 2:1, считая от вершины.


Решение

Докажем сначала, что любые две медианы делятся точкой пересечения в отношении 2:1.

Пусть B1 и C1 — середины сторон AC и AB треугольника ABC, M -- точка пересечения медиан BB1 и CC1, P и Q — середины BM и CM. Тогда C1B1 и PQ — средние линии треугольников ABC и MBC. Поэтому C1B1 = PQ и C1B1$ \Vert$PQ. Значит, четырёхугольник PC1B1Q — параллелограмм. Его диагонали PB1 и QC1 делятся точкой пересечения M пополам. Поэтому

BP = PM = MB1CQ = QM = MC1.

Таким образом, BM : MB1 = CM : MC1 = 2 : 1. Аналогично для любой другой пары медиан.

Медиана, проведённая из вершины A, должна пройти через точку пересечения двух других медиан, т.к. в противном случае она не разделит каждую из этих медиан в отношении 2:1.

Другие доказательства: с помощью подобия, с помощью центра масс и т. д.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1207

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .