Информация о задаче

Задача 53523

Темы:	[	Средняя линия треугольника	]
Темы:	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD длина отрезка, соединяющего середины сторон AB и CD равна 1. Прямые BC и AD перпендикулярны. Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей AC и BD.

Подсказка

Докажите, что середины сторон AB и CD и середины диагоналей AC и BD являются вершинами прямоугольника.

Решение

Пусть M и N — середины сторон соответственно AB и CD четырёхугольника ABCD, а P и Q — середины его диагоналей соответственно AC и BD. Тогда MP — средняя линия треугольника ABC, а QN — средняя линия треугольника DBC. Поэтому

MP = $\displaystyle {\frac{{1}}{{2}}}$ BC = QN, MP $\displaystyle \Vert$ BC $\displaystyle \Vert$ QN.

Значит, четырёхугольник MPNQ — параллелограмм. Его соседние стороны MP и MQ соответственно параллельны прямым BC и AD, поэтому MP $\perp$ MQ. Следовательно, четырёхугольник MPNQ — прямоугольник. Диагонали прямоугольника равны, поэтому

PQ = MN = 1.

Ответ

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1252