Задача 53545

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Ромбы. Признаки и свойства ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника,

а) равны, то диагонали четырёхугольника перпендикулярны;

б) перпендикулярны, то диагонали четырёхугольника равны.

Подсказка

Середины сторон любого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Решение

Пусть M, N, K, L — середины сторон соответственно AB, BC, CD, DA четырёхугольника ABCD. Тогда MN || KL (т. к. MN и KL — средние линии треугольников ABC и ADC) и NK || ML (аналогично). Следовательно, четырёхугольник MNKL — параллелограмм.

Если MK = NL, то этот параллелограмм — прямоугольник. Тогда MN ML. Поэтому AC BD.

Если же MK NL, то MNKL — ромб. Поэтому MN = ML. Следовательно, AC = BD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1274