ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53624
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сторона AD вписанного четырёхугольника ABCD является диаметром описанной окружности, M — точка пересечения диагоналей, P — проекция M на AD. Докажите, что M — центр окружности, вписанной в треугольник BCP.


Подсказка

Точки P, M, C и D лежат на одной окружности.


Решение

Поскольку AD — диаметр окружности, то $ \angle$ACD = 90o. Поэтому отрезок DM виден из точек C и P под прямым углом. Значит, точки C и P лежат на окружности с диаметром DM. Следовательно,

$\displaystyle \angle$MCP = $\displaystyle \angle$MDP = $\displaystyle \angle$BDA = $\displaystyle \angle$BCA = $\displaystyle \angle$BCM,

т.е. CA - биссектриса угла BCP треугольника BCP.

Аналогично докажем, что BM — биссектриса угла CBP треугольника BCP.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1359

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .