Задача 53624

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Сторона AD вписанного четырёхугольника ABCD является диаметром описанной окружности, M — точка пересечения диагоналей, P — проекция M на AD. Докажите, что M — центр окружности, вписанной в треугольник BCP.

Подсказка

Точки P, M, C и D лежат на одной окружности.

Решение

Поскольку AD — диаметр окружности, то ACD = 90^o. Поэтому отрезок DM виден из точек C и P под прямым углом. Значит, точки C и P лежат на окружности с диаметром DM. Следовательно,

MCP = MDP = BDA = BCA = BCM,

т.е. CA - биссектриса угла BCP треугольника BCP.

Аналогично докажем, что BM — биссектриса угла CBP треугольника BCP.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1359