Задача 53644

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку на стороне четырёхугольника проведена прямая, параллельная диагонали, до пересечения с соседней стороной четырёхугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная другой диагонали, и т.д. Докажите, что пятая точка, полученная таким способом, совпадет с исходной.

Подсказка

Примените теорему о пропорциональных отрезках.

Решение

Пусть M₁ – точка на стороне AB четырёхугольника ABCD; прямая, проведённая через M₁ параллельно диагонали AC, пересекает сторону BC в точке M₂; точки M₃, M₄ и M₅ получены указанным в условии способом. Если  AM₁ : M₁B = x : y,  то по теореме о пропорциональных отрезках  BM₂ : M₂C = y : x,
CM₃ : M₃D = x : y,  DM₄ : M₄A = y : x,  AM₅ : M₅B = x : y = AM₁ : M₁B.  Следовательно, точка M₅ совпадает с точкой M₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1379