Задача 53645

Темы:    [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Средняя линия треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку на стороне треугольника проведена прямая, параллельная другой стороне, до пересечения с третьей стороной треугольника. Через полученную точку проведена прямая, параллельная первой стороне треугольника и т.д. Докажите, что
  а) если исходная точка сопадает с серединой стороны треугольника, то четвёртая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной;
  б) если исходная точка отлична от середины стороны треугольника, то седьмая точка, полученная таким способом, совпадёт с исходной.

Решение

  а) В этом случае проведённые прямые проходят через середины сторон треугольника.

  б) Пусть точка M₁ расположена на стороне AB треугольника ABC и отлична от середины этой стороны; M₂ – точка на стороне BC, причём  M₁M₂ || AC;  M₃ – точка на стороне AC, причём  M₂M₃ || AB  и т.д.
  Если  AM₁ : M₁B = x : y,  то по теореме о пропорциональных отрезках  BM₂ : M₂C = y : x,  CM₃ : M₃A = x : y,  AM₄ : M₄B = y : x,  BM₅ : M₅C = x : y,
CM₆ : M₆A = y : x,  AM₇ : M₇C = x : y = AM₁ : M₁B.  Следовательно, точка M₇ совпадает с точкой M₁.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1380