ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 53734
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри треугольника ABC с острыми углами при вершинах A и C взята точка K, причём  ∠AKB = 90°,  ∠CKB = 180° – ∠C.
В каком отношении прямая BK делит сторону AC, если высота, опущенная на AC, делит эту сторону в отношении λ, считая от вершины A?


Решение

  Продолжим отрезок BK до пересечения со стороной AC в точке M. Тогда  ∠MKC = 180° – ∠CKB = ∠C = ∠MCB,  поэтому равнобедренные треугольники MKC и MCB подобны.
  Пусть BD – высота треугольника ABC,  DC = a,  AD = λa,  DM = x.  Тогда  CM : KM = BM : CM,  или  KM·BM = CM² = (a – x)².
  Точки D и K лежат на окружности с диаметром AB. Поэтому  KM·BM = AM·DM = (λa + x)x.
  Из уравнения  (a – x)² = (λa + x)x  находим, что  x = a/λ+2,  откуда  AM = λa + x = MC = a – x = .
  Следовательно,  AM/MC = λ + 1.


Ответ

AM/MC = λ + 1.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 1468

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .