|
|
 |
Условие
Центр описанной окружности треугольника симметричен его центру вписанной окружности относительно одной из сторон. Найдите углы треугольника.
Подсказка
Докажите, что данный треугольник – равнобедренный.
Решение
Пусть O и I – соответственно центры описанной и вписанной окружностей треугольника ABC, причём точки O и Q симметричны относительно прямой BC. Обозначим ∠OBC = ∠IBC = α. Поскольку треугольник BOC равнобедренный, то ∠ICB = ∠OCB = ∠OBC = α, а так как BI – биссектриса угла B, то ∠B = 2α. Аналогично, ∠C = 2α. Значит, треугольник ABC – равнобедренный, его биссектриса AM является высотой, а точки I и M лежат на отрезке OA. Поскольку треугольник AOB также равнобедренный, то ∠OBA = ∠OAB, или 3α = 90° – 2α. Отсюда α = 18°. Следовательно, ∠C = ∠B = 2α = 36°.
Ответ
36°, 36°, 108°.
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 1702 |
