Задача 54614

Темы:    [ Подобные треугольники и гомотетия (построения) ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Гомотетичные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

С помощью циркуля и линейки впишите в данный угол окружность, касающуюся данной окружности.

Подсказка

"Раздвиньте" стороны данного угла в направлениях перпендикуляров к его сторонам на расстояния, равные радиусу данной окружности (или примените гомотетию).

Решение

Первый способ.

Предположим, что нужная окружность S₁ построена. Пусть O₁ — её центр, O — центр данной окружности S, M — точка касания окружностей S₁ и S, r и R — их радиусы.

Пусть при параллельном переносе на расстояние R вдоль перпендикуляра к стороне AB данного угла BAC вне этого угла луч AB переходит в луч A₁B₁, а при соответствующем параллельном переносе вдоль перпендикуляра к стороне AC луч AC переходит в луч A₁C₁. Тогда окружность S₂ с центром в точке O₁ и радиусом R + r вписана в угол B₁A₁C₁ и проходит через точку O.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим угол B₁A₁C₁ с помощью указанных параллельных переносов сторон AB и AC данного угла BAC. Если центр O данной окружности окажется при этом внутри угла B₁A₁C₁, то с помощью гомотетии впишем в угол B₁A₁C₁ окружность, проходящую через точку O.

Пусть O₁ — центр этой окружности. Тогда окружность с центром O и радиусом, равным разности радиусов построенной и данной окружностей (т.е. R + r - R = r), вписана в угол BAC и касается данной окружности.

Второй способ.

Предположим, что нужная окружность S₁ построена. Поскольку окружности S и S₁ касаются, то точка M их касания есть один из центров гомотетии этих окружностей. При гомотетии с этим центром данный угол BAC перейдёт в угол B₂A₂C₂, в который вписана окружность S. Поскольку при этой гомотетии точка A переходит в A₂, то прямая AA₂ проходит через центр гомотетии, т.е. через точку M.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим угол B₂A₂C₂, стороны которого противоположно направлены соответствующим сторонам данного угла BAC и являются касательными к данной окружности S. Пересечение прямой AA₂ с данной окружностью есть искомая точка касания окружностей. Остается вписать в угол ABC окружность, проходящую через эту точку.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2509