Задача 54789

Темы:    [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC стороны CB и CA равны соответственно a и b. Биссектриса угла ACB пересекает сторону AB в точке K, а описанную окружность треугольника ABC – в точке M. Описанная окружность треугольника AMK вторично пересекает прямую CA в точке P. Найдите AP.

Подсказка

∠APK = ∠AMC = ∠CBA;  треугольники CKP и CKB равны.

Решение

  Предположим, что  a > b.  ∠APK = ∠AMC  (как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу), а ∠KBC = ∠ABC = ∠AMC = ∠AMK = ∠APK.  Значит, треугольники BKC и PKC равны по стороне и трём углам. Поэтому  CP = BC = a.  Следовательно,  AP = CP – AC = a – b.
  Если  a < b,  то аналогично получим, что  AP = b – a.

Ответ

|a – b|.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2735