Информация о задаче

Задача 55102

Темы:	[	Отношения площадей	]
Темы:	[	Площадь четырехугольника	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Пусть M и N — середины противоположных сторон соответственно BC и AD выпуклого четырёхугольника ABCD, отрезки AM и BN пересекаются в точке P, а отрезки DM и CN — в точке Q. Докажите, что сумма площадей треугольников APB и CQD равна площади четырёхугольника MPNQ.

Подсказка

Опустите перпендикуляры из точек A, N и D на прямую BC.

Решение

Обозначим расстояния от точек A, N и D до прямой BC через h₁, h₂ и h₃ соответственно, а площади треугольников BPM и CQM — через x и y. Тогда

S_APB + x = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BM^.h₁, S_CQD + y = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CM^.h₃, S_MPNQ + x + y = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.h₂.

По теореме о средней линии трапеции

h₂ = $\displaystyle {\frac{h_{1}+ h_{3}}{2}}$ .

Поэтому

S_APB + S_CQD + x + y = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BM^.h₁ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ CM^.h₃ =

= CM^. $\displaystyle {\frac{h_{1}+ h_{3}}{2}}$ = CM^.h₂ = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ BC^.h₂ = S_BNC = S_MPNQ + x + y.

Следовательно,

S_APB + S_CQD = S_MPNQ.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3158