Задача 55130

Темы:    [ Отношения площадей ] [ Площадь четырехугольника ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Две прямые делят каждую из двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника на три равные части.
Докажите, что между этими прямыми заключена треть площади четырёхугольника.

Решение

   Пусть точки M и N лежат на стороне AB выпуклого четырёхугольника ABCD, точки K и L – на стороне DC, причём  AM = MN = NB,  DL = LK = KC.
   Проведём диагонали DM, LN и KB четырёхугольников AMLD, MNKL и NBCK. Пусть h₁, h и h₂ – расстояния от точек соответственно D, L и K до прямой AB. Тогда  h = ½ (h₁ + h₂)  (h – длина средней линии трапеции с основаниями длины h₁ и h₂).
   Поэтому  S_KLN = ½ MN·h = ¼ MN·(h₁ + h₁) = ¼ (AM·h₁ + NB·h₂) = ½ (S_AMD + S_CBK).
   Аналогично,  S_KLM = ½ (S_DLM + S_CKB).  Поэтому  S_MNKL = ½ (S_AMLD + S_NBCK).  Следовательно,  S_MNKL = ¹/₃ S_ABCD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3205