ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55159
Темы:    [ Перпендикуляр короче наклонной. Неравенства для прямоугольных треугольников ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника ABCD не превосходит $ {\frac{1}{2}}$(AB . BC + AD . DC).


Подсказка

Каждая диагональ разбивает выпуклый четырёхугольник на два треугольника.


Решение

Поскольку четырёхугольник ABCD выпуклый, то диагональ AC разбивает его на два треугольника — ABC и ADC. Тогда

SABCD = S$\scriptstyle \Delta$ABC + S$\scriptstyle \Delta$ADC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . BC sin$\displaystyle \angle$ABC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . DC sin$\displaystyle \angle$ADC $\displaystyle \leqslant$

$\displaystyle \leqslant$ $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AB . BC + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$AD . DC = $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$(AB . BC + AD . DC).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3513

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .