ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55175
Темы:    [ Произвольные многоугольники ]
[ Неравенство треугольника (прочее) ]
[ Средняя линия треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Середины соседних сторон выпуклого многоугольника соединены отрезками. Докажите, что периметр многоугольника, образованного этими отрезками, не меньше половины периметра исходного многоугольника.


Подсказка

Докажите, что сумма всех n диагоналей данного n-угольника (n > 3), соединяющих его вершины через одну, больше периметра данного n-угольника.


Решение

Для треугольника утверждение очевидно. Пусть число n сторон данного многоугольника больше 3. Проведём в нём все n диагоналей, соединяющих его вершины через одну. Каждая из этих диагоналей вдвое больше параллельного ей отрезка, соединяющего середины двух соседних сторон многоугольника. Поэтому достаточно доказать, что сумма этих n диагоналей больше периметра данного многоугольника.

Для доказательства последнего утверждения заметим, что даже сумма кусочков этих диагоналей, примыкающих к вершинам многоугольника, больше периметра данного многоугольника.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3529

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .