Задача 55208

Темы:    [ Неравенство треугольника ] [ Длины сторон (неравенства) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что если a, b, c — стороны произвольного треугольника, то a² + b² > .

Подсказка

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его четырёх сторон.

Решение

Первый способ.

Удвоив медиану m, проведённую к стороне c, достроим данный треугольник до параллелограмма. Тогда

2a² + 2b² = c² + 4m² > c².

Отсюда следует, что a² + b² > .

Второй способ.

Поскольку c < a + b, то

c² < (a + b)² = a² + 2ab + b² 2a² + 2b²

(т.к. a² + b² 2ab).

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3562