Информация о задаче

Задача 55323

Темы:	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
Темы:	[	Теорема косинусов	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В треугольник ABC вписана окружность, которая касается сторон AB, BC, AC соответственно в точках M, D, N. Найдите MD, если известно, что NA = 2, NC = 3, $\angle$ BCA = 60^o.

Подсказка

Обозначьте BM = BD = x и примените теорему косинусов к треугольнику ABC.

Решение

Обозначим BM = BD = x. Тогда

AB = BM + AM = BM + AN = x + 2 BC = BD + CD = BD + CN = x + 3.

По теореме косинусов

AB² = AC² + BC² - 2AC^.BC cos $\displaystyle \angle$ C, или (x + 2)² = 25 + (x + 3)² - 5(x + 3).

Из этого уравнения находим, что x = 5. Тогда AB = 7, BC = 8.

Еще раз применяя теорему косинусов к треугольнику ABC, находим, что

cos $\displaystyle \angle$ B = $\displaystyle {\frac{AB^{2} + BC^{2} - AC^{2}}{2AB\cdot BC}}$ = $\displaystyle {\frac{7^{2} + 8^{2} - 5^{2}}{2\cdot 7\cdot 8}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{11}{14}}$ .

Искомый отрезок MD находим по теореме косинусов из равнобедренного треугольника MBD:

MD = $\displaystyle \sqrt{BM^{2}+ BD^{2}- 2BM\cdot BD \cos \angle B}$ = $\displaystyle {\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ .

Ответ

${\frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{7}}}$ .

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4070