ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55383
Темы:    [ Вспомогательная окружность ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причём точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что BK = $ {\frac{\vert AK - CK\vert}{\sqrt{2}}}$ и DK = $ {\frac{AK + CK}{\sqrt{2}}}$.


Подсказка

Докажите, что точка K лежит на окружности, описанной около данного квадрата, и воспользуйтесь формулой a = 2R sin$ \alpha$.


Решение

Пусть CK > AK. Обозначим $ \angle$ACK = $ \varphi$. Тогда $ \varphi$ < 45o. Точка K лежит на окружности, описанной около данного квадрата. Если R — радиус этой окружности, то

BK = 2R sin$\displaystyle \angle$BCK = AC sin(45o - $\displaystyle \varphi$) =

= AC$\displaystyle \left(\vphantom{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \varphi - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin \varphi }\right.$$\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$cos$\displaystyle \varphi$ - $\displaystyle {\frac{\sqrt{2}}{2}}$ . sin$\displaystyle \varphi$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{\sqrt{2}}{2}\cos \varphi - \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sin \varphi }\right)$ =

= $\displaystyle {\frac{AC\cos \varphi - AC\sin \varphi}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CK - AK}{\sqrt{2}}}$,

DK = 2R sin$\displaystyle \angle$KCD = AC sin(45o + $\displaystyle \varphi$) =

= $\displaystyle {\frac{AC\cos \varphi + AC \sin \varphi}{\sqrt{2}}}$ = $\displaystyle {\frac{CK + AK}{\sqrt{2}}}$.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4702

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .