Задача 55406

Темы:    [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Общая внутренняя касательная к окружностям с радиусами R и r пересекает их общие внешние касательные в точках A и B и касается одной из окружностей в точке C. Докажите, что  AC·CB = Rr.

Подсказка

Если O₁ и O₂ – центры окружностей, a C и D — точки касания окружностей с прямой AB, то треугольники AO₁C и O₂AD подобны.

Решение

  Пусть прямая AB касается окружностей в точках C и D. Тогда  BC = AD  (поскольку как  2BC + CD,  так и  2AD + CD  равно длине отрезка общей внешной касательной между точками касания).
  Если O₁ и O₂ – центры окружностей, то  ∠O₁AO₂ = 90°  (как угол между биссектрисами смежных углов). Значит, прямоугольные треугольники AO₁C и O₂AD подобны (их стороны взаимно перпендикулярны). Поэтому  O₁C : AC = AD : DO₂.  Следовательно,  AC·CB = AC·AD = O₁C·DO₂ = Rr.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4726