|
|
 |
Условие
Касательные к описанной вокруг треугольника ABC окружности, проведённые в точках A и B, пересекаются в точке P.
Докажите, что прямая PC пересекает сторону AB в точке K, делящей её в отношении AC² : BC².
Подсказка
Рассмотрите подобные треугольники.
Решение
Пусть прямая CP пересекает окружность в точке F, отличной от точки C. Из подобия треугольников PAC и PFA следует, что AC : AF = AP : PF; из подобия треугольников PBC и PFB – BC : BF = BP : PF. Разделив первое равенство на второе и заметив, что AP = BP, получим, что AC : BC = AF : BF.
С другой стороны, из подобия треугольников AKF и CKB следует, что AF : BC = AK : KC, а из подобия треугольников AKC и FKB – BF : AC = BK : KC. Разделив почленно эти равенства, получим, что AK/BK = AF/BF·AC/BC = AC²/BC².
Источники и прецеденты использования
| web-сайт | |
| Название | Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
| URL | http://zadachi.mccme.ru |
| задача | |
| Номер | 4865 |
