ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56520
Тема:    [ Подобные фигуры ]
Сложность: 4
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA построены полуокружности S1, S2, S3 по одну сторону от AC. D — такая точка на S3, что BD $ \perp$ AC. Общая касательная к S1 и S2, касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S3, проведенной через точку D.
б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.

Решение

а) Пусть O — середина ACO1 — середина ABO2 — середина BC. Будем считать, что AB $ \leq$ BC. Проведем через точку O1 прямую O1K параллельно EF (K — точка на отрезке EO2). Докажем, что прямоугольные треугольники DBO и O1KO2 равны. В самом деле,  O1O2 = DO = AC/2 и  BO = KO2 = (BC - AB)/2. Из равенства треугольников DBO и O1KO2 следует, что  $ \angle$BOD = $ \angle$O1O2E, т. е. прямая DO параллельна EO2 и касательная, проведенная через точку D, параллельна прямой EF.
б) Так как углы между диаметром AC и касательными к окружностям в точках F, D, E равны, то  $ \angle$FAB = $ \angle$DAC = $ \angle$EBC и  $ \angle$FBA = $ \angle$DCA = $ \angle$ECB, т. е. F лежит на отрезке AD, E — на отрезке DC. Кроме того,  $ \angle$AFB = $ \angle$BEC = $ \angle$ADC = 90o, поэтому FDEB — прямоугольник.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 6
Название Подобные фигуры
Тема Подобные фигуры
задача
Номер 01.064

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .