ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 56522
Тема:    [ Подобные фигуры ]
Сложность: 5
Классы: 9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

К двум окружностям, расположенным одна вне другой, проведены одна внешняя и одна внутренняя касательные. Рассмотрим две прямые, каждая из которых проходит через точки касания, принадлежащие одной из окружностей. Докажите, что точка пересечения этих прямых расположена на прямой, соединяющей центры окружностей.

Решение

Обозначим центры окружностей через O1 и O2. Внешняя касательная касается первой окружности в точке K, а второй окружности в точке L; внутренняя касательная касается первой окружности в точке M, а второй окружности в точке N (рис.). Пусть прямые KM и LN пересекают прямую O1O2 в точках P1 и P2 соответственно. Надо доказать, что P1 = P2. Рассмотрим точки A, D1, D2 пересечения прямых KL и MNKM и O1ALN и O2A соответственно.  $ \angle$O1AM + $ \angle$NAO2 = 90o,
поэтому прямоугольные треугольники O1MA и ANO2 подобны, а также  AO2 || KM и  AO1 || LN. Из параллельности этих прямых получаем  AD1 : D1O1 = O2P1 : P1O1 и  D2O2 : AD2 = O2P2 : P2O1. Из подобия четырехугольников AKO1M и O2NAL получаем  AD1 : D1O1 = D2O2 : AD2. Следовательно,  O2P1 : P1O1 = O2P2 : P2O1, т. е. P1 = P2.


Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 1
Название Подобные треугольники
Тема Подобные треугольники
параграф
Номер 6
Название Подобные фигуры
Тема Подобные фигуры
задача
Номер 01.066

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .