Информация о задаче

Задача 56763

Тема:

[

Площадь треугольника.

]

Сложность: 5
Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, делящие его стороны в отношениях BA₁ : A₁C = p, CB₁ : B₁A = q и AC₁ : C₁B = r. Точки пересечения отрезков AA₁, BB₁ и CC₁ расположены так, как показано на рис. Найдите отношение площадей треугольников PQR и ABC.

Решение

Воспользовавшись результатом задачи 1.3, легко проверить, что

$\displaystyle {\frac{BQ}{BB_1}}$ = $\displaystyle {\frac{p+pq}{1+p+pq}}$ , $\displaystyle {\frac{B_1R}{BB_1}}$ = $\displaystyle {\frac{qr}{1+q+qr}}$ , $\displaystyle {\frac{CR}{CC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{q+qr}{1+q+qr}}$ , $\displaystyle {\frac{CP}{CC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{pr}{1+r+pr}}$ .

Ясно также, что

$\displaystyle {\frac{S_{PQR}}{S_{RB_1C}}}$ = $\displaystyle {\frac{QR}{RB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{PR}{RC}}$ и $\displaystyle {\frac{S_{RB_1C}}{S_{ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{B_1C}{AC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{B_1R}{BB_1}}$ .

Поэтому

$\displaystyle {\frac{S_{PQR}}{S_{ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{QR}{BB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{PR}{RC}}$ ^. $\displaystyle {\frac{B_1C}{AC}}$ = $\displaystyle {\frac{QR}{BB_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{PR}{CC_1}}$ ^. $\displaystyle {\frac{CC_1}{CR}}$ ^. $\displaystyle {\frac{B_1C}{AC}}$ .

Учитывая, что

$\displaystyle {\frac{QR}{BB_1}}$ = 1 - $\displaystyle {\frac{p+pq}{1+p+pq}}$ - $\displaystyle {\frac{qr}{1+q+rq}}$ = $\displaystyle {\frac{1}{1+p+pq}}$ - $\displaystyle {\frac{rq}{1+q+rq}}$ = $\displaystyle {\frac{(1+q)(1-pqr)}{(1+p+pq)(1+q+qr)}}$

$\displaystyle {\frac{PR}{CC_1}}$ = $\displaystyle {\frac{(1+r)(1-pqr)}{(1+q+qr)(1+r+pr)}}$ ,

получаем

$\displaystyle {\frac{S_{PQR}}{S_{ABC}}}$ = $\displaystyle {\frac{(1-pqr)^2}{(1+p+pq)(1+q+qr)(1+r+pr)}}$ .

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	2
Название	Вычисление площадей
Тема	Площадь треугольника.
задача
Номер	04.013