Условие
Найдите внутри треугольника
ABC точку
O, обладающую следующим
свойством: для любой прямой, проходящей через
O и пересекающей
сторону
AB в точке
K и сторону
BC в точке
L, выполнено равенство
p
+
q
= 1, где
p и
q — данные положительные
числа.
Решение
Поместим в вершины
A,
B и
C массы
p, 1 и
q соответственно.
Пусть
O — центр масс этой системы точек. Будем рассматривать
точку с массой 1 как две совпадающие точки с массами
xa
и
xc, где
xa +
xc = 1. Пусть
K — центр масс точек
A и
B
с массами
p и
xa, a
L — центр масс точек
C и
B
с массами
q и
xc. Тогда
AK :
KB =
xa :
p,
CL :
LB =
xc :
q, а точка
O, являющаяся центром масс
точек
K и
L с массами
p +
xa и
q +
xc, лежит на прямой
KL.
Изменяя
xa от 0 до 1, мы получим все прямые, проходящие через
точку
O и пересекающие стороны
AB и
BC. Поэтому для всех
этих прямых выполняется равенство
+
=
xa +
xc = 1.
Источники и прецеденты использования
