Условие
Три мухи равной массы ползают по сторонам
треугольника так, что их центр масс остается на месте.
Докажите, что он совпадает с точкой пересечения медиан
треугольника
ABC, если известно, что одна муха проползла
по всей границе треугольника.
Решение
Обозначим центр масс мух через
O. Пусть одна муха
находится в вершине
A, а
A1 — центр масс двух других мух. Ясно,
что точка
A1 лежит внутри треугольника
ABC, а точка
O лежит
на отрезке
AA1 и делит его в отношении
AO :
OA1 = 2 : 1.
Поэтому точка
O лежит внутри треугольника, полученного из треугольника
ABC гомотетией с коэффициентом 2/3 и центром
A. Рассматривая
такие треугольники для всех трех вершин, получаем, что единственной
их общей точкой является точка пересечения медиан треугольника
ABC. Так как одна муха побывала во всех трех вершинах, а точка
O
при этом оставалась на месте, точка
O должна принадлежать
всем трем этим треугольникам, т. е.
O совпадает с точкой пересечения
медиан треугольника
ABC.
Источники и прецеденты использования
