Условие
Центрально симметричная фигура на клетчатой бумаге состоит из
n
"уголков" и
k прямоугольников размером 1×4, изображенных
на рис. Докажите, что
n четно.
Решение
Поместим в центры клеток, из которых состоят к уголкик
и прямоугольники, единичные массы. Разобьем каждую исходную
клетку бумаги на четыре клетки, получив тем самым новую
клетчатую бумагу. Легко проверить, что теперь центр масс уголка
лежит в центре новой клетки, а центр масс прямоугольника — в
вершине клетки (рис). Ясно, что центр масс фигуры совпадает
с ее центром симметрии, а центр симметрии фигуры, состоящей
из исходных клеток, может находиться только в вершине новой
клетки. Так как массы уголков и плиток равны, сумма векторов
с началом в центре масс фигуры и с концами в центрах масс
всех уголков и плиток равна нулю. Если бы число уголков было
нечетно, то сумма векторов имела бы полуцелые координаты и была
бы отлична от нуля. Следовательно, число уголков четно.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
книга |
|
Автор |
Прасолов В.В. |
|
Год издания |
2001 |
|
Название |
Задачи по планиметрии |
|
Издательство |
МЦНМО |
|
Издание |
4* |
|
глава |
|
Номер |
14 |
|
Название |
Центр масс |
|
Тема |
Центр масс |
|
параграф |
|
Номер |
4 |
|
Название |
Разные задачи |
|
Тема |
Центр масс (прочее) |
|
задача |
|
Номер |
14.027 |
