Задача 58177

Тема:    [ Инварианты ]

Сложность: 7 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что существуют равновеликие многоугольники, которые нельзя разбить на многоугольники (возможно, невыпуклые), переводящиеся друг в друга параллельным переносом.

Решение

Фиксируем на плоскости некоторый луч AB. Любому многоугольнику M поставим в соответствие число F(M) (зависящее от AB) следующим образом. Рассмотрим все стороны M, перпендикулярные AB, и каждой из них поставим в соответствие число ±l, где l — длина этой стороны и знак к плюск берется, если мы, идя от этой стороны в направлении луча AB, попадаем внутрь M, а знак к минуск — если наружу (рис.). Сумму всех полученных чисел мы и обозначим F(M); если у M нет сторон, перпендикулярных AB, то F(M) = 0.

Легко видеть, что если многоугольник M разрезан на многоугольники M₁ и M₂, то F(M) = F(M₁) + F(M₂), а если M' получен из M параллельным переносом, то F(M') = F(M). Поэтому, если M₁ и M₂ можно разрезать на части, переводящиеся друг в друга параллельным переносом, то F(M₁) = F(M₂).
На рис. ниже изображены равные правильные треугольники PQR и PQS и луч AB, перпендикулярный стороне PQ. Легко видеть, что F(PQR) = a и F(PQS) = - a, где a — длина сторон этих правильных треугольников. Поэтому равные треугольники PQR и PQS нельзя разрезать на части, переводящиеся друг в друга параллельным переносом.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	23
Название	Делимость, инварианты, раскраски
Тема	Неопределено
параграф
Номер	3
Название	Инварианты
Тема	Инварианты
задача
Номер	23.017