Задача 58208

Тема:    [ Теорема Пика ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Условие

Вершины многоугольника (не обязательно выпуклого) расположены в узлах целочисленной решетки. Внутри его лежит n узлов решетки, а на границе m узлов. Докажите, что его площадь равна n + m/2 - 1 (формула Пика).

Решение

Каждому многоугольнику M с вершинами в узлах целочисленной решетки поставим в соответствие число f (M) = /2, где суммирование ведётся по всем узлам решётки, принадлежащим M, и — угол, под которым виден многоугольник M из соответствующего узла. Например, = 2 для внутренней точки многоугольника, = для граничной точки, отличной от вершины. Легко видеть, что f (M) = n + = n + - 1. Остаётся проверить, что число f (M) равно площади многоугольника M.
Пусть многоугольник M разрезан на многоугольники M₁ и M₂ с вершинами в узлах решетки. Тогда f (M) = f (M₁) + f (M₂), поскольку для каждого узла углы складываются. Поэтому если формула Пика верна для двух из многоугольников M, M₁ и M₂, то она верна и для третьего.
Если M — прямоугольник со сторонами p и q, направленными по линиям решетки, то

f (M) = (p - 1)(q - 1) + + + = pq.

В этом случае формула Пика справедлива. Разрезав прямоугольник M диагональю на треугольники M₁ и M₂ и воспользовавшись тем, что f (M) = f (M₁) + f (M₂) и  f (M₁) = f (M₂), легко доказать справедливость формулы Пика для любого прямоугольного треугольника с катетами, направленными по линиям решетки. Отрезав несколько таких треугольников от прямоугольника, можно получить любой треугольник (рис.).
Для завершения доказательства формулы Пика остается заметить, что любой многоугольник можно разрезать на треугольники непересекающимися диагоналями (задача 22.22).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	2
Название	Формула Пика
Тема	Теорема Пика
задача
Номер	24.005