Условие
а) Во всех узлах целочисленной решетки, кроме одного,
в котором находится охотник, растут деревья, стволы которых
имеют радиус r. Докажите, что охотник не сможет увидеть
зайца, находящегося от него на расстоянии больше 1/r.
б) Пусть n — натуральное число. Во всех точках целочисленной решетки,
расположенных строго внутри окружности радиуса
с центром в
начале координат и отличных от начала координат, растут деревья радиуса r.
Докажите, что если
r < 
, то на указанной окружности есть
точка, которую можно увидеть из начала координат.
Решение
а) Пусть охотник находится в точке O, а заяц — в точке A;
A1 — точка, симметричная A относительно O. Рассмотрим
фигуру 
, содержащую все точки,
расстояние от которых до отрезка
AA1 не превосходит r (рис.). Достаточно доказать, что
содержит хотя бы один узел решетки (если узел попадает в заштрихованную
часть, то точка A принадлежит стволу дерева).
Площадь равна
4rh + 
r2, где h — расстояние от
охотника до зайца. Если h > 1/r, то
4rh + r2 > 4. По теореме
Минковского содержит целочисленную точку.
б) Рассмотрим прямоугольник с вершинами (0, 0), (0, 1), (n, 1) и (n, 0).
Покажем, что из начала координат можно увидеть точку (n, 1). Действительно,
расстояния от точек (1, 0) и (n - 1, 1) до прямой, проходящей через точки
(0, 0) и (n, 1), равно
. Поэтому деревья, растущие в
этих точках, не пересекают указанную прямую. Остальные деревья ее тем более не
пересекают.
Источники и прецеденты использования
