Задача 58218

Тема:    [ Теорема Минковского ]

Сложность: 7 Классы: 9,10

Условие

Выпуклая фигура имеет площадь S и полупериметр p. Докажите, что если S > np для некоторого натурального n, то содержит по крайней мере n целочисленных точек.

Решение

Согласно задаче 24.10B- достаточно доказать, что если S > np, то можно разрезать на n выпуклых фигур, у каждой из которых площадь больше полупериметра. Применим индукцию по n. Для n = 1 утверждение очевидно. Предположим, что оно доказано для n; докажем его для n + 1. Пусть S > (n + 1)p для некоторой фигуры . Разрежем эту фигуру прямой на две фигуры и , площади которых равны S₁ = S и S₂ = S. Пусть p₁ и p₂ — полупериметры этих фигур. Ясно, что p₁ < p и p₂ < p. Поэтому S₁ > p > p₁ и S₂ > np > np₂. Применив предположение индукции к фигуре , получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	24
Название	Целочисленные решетки
Тема	Целочисленные решетки
параграф
Номер	4
Название	Вокруг теоремы Минковского
Тема	Теорема Минковского
задача
Номер	24.010B-1