Задача 60603

Темы:    [ Цепные (непрерывные) дроби ] [ Уравнения в целых числах ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Пусть числа a и b определены равенством  ^a/_b = [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].  Докажите, что уравнение  ax – by = 1  c неизвестными x и y имеет решением одну из пар  (Q_n–1, P_n–1)  или  (– Q_n–1, – P_n–1),  где  ^P_n–1/_Qn–1  – (n–1)-я подходящая дробь. От чего зависит, какая именно из пар является решением?

Подсказка

Воспользуйтесь п. б) задачи 60601.

Ответ

От чётности n.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.151