Задача 60616

Тема:    [ Цепные (непрерывные) дроби ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что значение любой периодической цепной дроби – квадратичная иррациональность.

Решение

  Докажем сначала, что всякая чисто периодическая цепная дробь  α = [a₀; a₁, ..., a_k–1, α]  задаёт квадратичную иррациональность. При решении задачи 60601 а) была получена формула, которая выражает зависимость подходящей дроби от последнего неполного частного. Заменяя в этой формуле a_k на α, приходим к равенству     которое дает квадратное уравнение для α:  α²Q_k–1 + α(Q_k–2 – P_k–1) – P_k–2 = 0.  Таким образом, α – квадратичная иррациональность.
  Осталось заметить, что если α – квадратичная иррациональность, а  β = [b₀; b₁, ..., b_m, α],  то β также является квадратичной иррациональностью.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	3
Название	Алгоритм Евклида и основная теорема арифметики
Тема	Алгебра и арифметика
параграф
Номер	5
Название	Цепные дроби
Тема	Цепные (непрерывные) дроби
задача
Номер	03.164