ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 60655
Темы:    [ Деление с остатком ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Натуральные числа m и n таковы, что  m > nm не делится на n и имеет от деления на n тот же остаток, что и  m + n  от деления на  m – n.
Найдите отношение  m : n.


Решение

  Пусть  m = nq + r,  0 < r < n.  По условию  m – n > r,  значит,  q > 1.  Следовательно,  m/n > 2,  а     Кроме того,
m + n > m + r > (m – n) + r,  значит,   m + n = 2(m – n) + r,  то есть  nq + n + r = 2(nq + r – n) + r,  (q – 3)n + 2r = 0.
  Отсюда  q = 2,  n = 2rm = 5r.


Ответ

5 : 2.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания 2002
Название Алгебра и теория чисел
Издательство МЦНМО
Издание 1
глава
Номер 4
Название Арифметика остатков
Тема Деление с остатком. Арифметика остатков
параграф
Номер 2
Название Делимость
Тема Теория чисел. Делимость (прочее)
задача
Номер 04.029

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .