Задача 61276

Темы:    [ Уравнения высших степеней (прочее) ] [ Тригонометрические уравнения ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Решите уравнения
  а)  x³ – 3x – 1 = 0;
  б)  x³ – 3x – = 0.
Укажите в явном виде все корни этих уравнений.

Решение

По методу Виета (см. задачу 61275), сделав замену  x = 2t,  получим уравнения  4t³ – 3x – ½ = 0  и     поэтому (по формулам из задачи 61275) корни первого уравнения
t₁ = cos ^π/₉,  t₂ = cos ^7π/₉,  t₃ = cos ^13π/₉,  а второго  t₁ = cos ^π/₁₈,  t₂ = cos ^13π/₁₈,  t₃ = cos ^25π/₁₈.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Алфутова Н.Б., Устинов А.В.
Год издания	2002
Название	Алгебра и теория чисел
Издательство	МЦНМО
Издание	1
глава
Номер	9
Название	Уравнения и системы
Тема	Неопределено
параграф
Номер	1
Название	Уравнения третьей степени
Тема	Уравнения высших степеней. Возвратные уравнения
задача
Номер	09.025